نصائح

ما هو الفرق بين مجموعتين في نظرية المجموعات؟

ما هو الفرق بين مجموعتين في نظرية المجموعات؟

الفرق من مجموعتين ، مكتوبة ا - ب هي مجموعة من جميع عناصر ا ليست عناصر ب. عملية الفرق ، إلى جانب الاتحاد والتقاطع ، هي عملية نظرية مجموعة مهمة وأساسية.

وصف الفرق

يمكن التفكير في طرح رقم واحد من آخر بعدة طرق مختلفة. يسمى نموذج واحد للمساعدة في فهم هذا المفهوم نموذج الوجبات الجاهزة للطرح. في هذا ، سيتم توضيح المشكلة 5 - 2 = 3 من خلال البدء بخمسة أشياء ، وإزالة اثنين منها ، واعتبار أن هناك ثلاثة أشياء متبقية. بطريقة مماثلة نجد الفرق بين رقمين ، يمكننا إيجاد الفرق بين مجموعتين.

مثال

سوف ننظر إلى مثال على الفرق مجموعة. لنرى كيف يشكل الفرق بين مجموعتين مجموعة جديدة ، دعنا ننظر في المجموعات ا = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5} و ب = {3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8}. لمعرفة الفرق ا - ب من هاتين المجموعتين ، نبدأ بكتابة جميع عناصر ا، ثم يسلب كل عنصر من عناصر ا هذا هو أيضا عنصر من ب. منذ ا يشارك العناصر 3 و 4 و 5 مع ب، وهذا يعطينا الفرق مجموعة ا - ب = {1, 2}.

الترتيب مهم

تمامًا كما تعطينا الاختلافات 4 - 7 و 7 - 4 إجابات مختلفة ، يجب أن نتوخى الحذر في الترتيب الذي نحسب به الفرق المحدد. لاستخدام مصطلح تقني من الرياضيات ، قد نقول إن التشغيل المحدد للفرق ليس تبديلًا. ما يعنيه هذا هو أنه بشكل عام لا يمكننا تغيير ترتيب الفرق بين مجموعتين ونتوقع نفس النتيجة. يمكننا أن نقول بدقة أكثر لجميع المجموعات ا و ب, ا - ب لا يساوي ب - ا.

لمشاهدة هذا ، ارجع إلى المثال أعلاه. حسبنا ذلك للمجموعات ا = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5} و ب = {3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8} ، الفرق ا - ب = {1 ، 2}. لمقارنة هذا ل ب - ا، نبدأ مع عناصر ب، وهي 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 ، ثم قم بإزالة 3 و 4 و 5 لأن هذه العناصر مشتركة مع ا. النتيجه هي ب - ا = {6 ، 7 ، 8}. هذا المثال يوضح لنا ذلك بوضوح أ - ب لا يساوي ب - أ.

الملحق

نوع واحد من الفرق مهم بما فيه الكفاية لتبرير اسمها ورمزها الخاص. وهذا ما يسمى المكمل ، ويتم استخدامه لفرق المجموعة عندما تكون المجموعة الأولى هي المجموعة الشاملة. تكملة لل ا يتم إعطاء بواسطة التعبير U - ا. يشير هذا إلى مجموعة جميع العناصر الموجودة في المجموعة العالمية التي ليست عناصر ا. بما أنه من المفهوم أن مجموعة العناصر التي يمكننا الاختيار من بينها مأخوذة من المجموعة العالمية ، يمكننا ببساطة أن نقول إن هذه العناصر مكملة ا هي مجموعة مكونة من عناصر ليست عناصر ا.

مكمل مجموعة نسبة إلى مجموعة عالمية التي نعمل معها. مع ا = {1 ، 2 ، 3} و U = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5} ، تكملة ا هو {4 ، 5}. إذا كانت مجموعتنا العالمية مختلفة ، على سبيل المثال U = {-3 ، -2 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3} ، ثم تكملة ا {-3 ، -2 ، -1 ، 0}. احرص دائمًا على الانتباه إلى المجموعة العالمية المستخدمة.

تدوين للمكمل

تبدأ الكلمة "تكملة" بالحرف C ، ولذا يتم استخدام ذلك في التدوين. تكملة للمجموعة ا هو مكتوب باسم اC. حتى نتمكن من التعبير عن تعريف المكمل في الرموز على النحو التالي: اC = U - ا.

هناك طريقة أخرى شائعة الاستخدام للدلالة على مجموعة مكتملة تتضمن علامة اقتباس أحادية ، ويتم كتابتها كـ ا'.

هويات أخرى تنطوي على الفرق والمكملات

هناك العديد من الهويات التي تتضمن استخدام الفرق وتكملة العمليات. تجمع بعض الهويات عمليات مجموعة أخرى مثل التقاطع والاتحاد. وذكر عدد قليل من أكثر أهمية أدناه. لجميع المجموعات او ب و د نحن لدينا:

  • ا - ا =∅
  • ا - ∅ = ا
  • ∅ - ا = ∅
  • ا - U = ∅
  • (اC)C = ا
  • قانون دي مورغان الأول: (اب)C = اCبC
  • قانون دي مورغان الثاني: (اب)C = اCبC

شاهد الفيديو: 20العمليات على المجموعات منها اتحاد المجموعات والتقاطع والفرق والفرق التناظري والمتممة (أبريل 2020).